Prinzip der Dezimalwaage

Dezimalwaage Prinzip Zeichnung
Abbildung 1

Was leistet die Dezimalwaage? Man kann mit ihr recht einfach schwere Gegenstände m wiegen, da als Messgewicht nur ein Zehntel (Dezi = 1/10) der zu wiegenden Masse aufgebracht werden muss.

Und warum ist sie so kompliziert? Sie ist so konstruiert, dass die Masse m nicht an einem festen Platz auf auf der Waage liegen muss, sondern bleibig platziert werden kann. Dazu dient die etwas kompliziert aussehende Mechanik.

Wo wurde so eine Waage verwendet? Sie kam in der Landwirtschaft bzw. im Handel zum Wiegen von Kartoffel- oder Mehlsäcken oder von Vieh zum Einsatz. Bei der Bahn wurden zu versendende Güter gewogen. Historische Bilder auf Wikipedia.de sowie hier eines Modells von Phywe.

Wie funktioniert die Dezimalwaage?

1) Wie funktioniert eine einfache Dezimalwaage? Eine einfache Dezimalwaage lässt sich mit einem Hebel realisieren (Abb. 2). Einfach die gesuchte Masse m an Position 1 hängen und das Messgewicht an Position 10. Nachteilig ist, dass die gesuchte Masse m an die Balkenwaage gehängt werden muss. Das ist z.B. bei den oben erwähnten Kartoffelsäcken recht mühsam.

Balkenwaage
Abbildung 2: einfache Dezimalwaage

2) Um den zu wägenden Körper gut abstellen zu können, wird eine Abstellfläche hinzugefügt, die rechts auf dem Boden aufliegt (Abb. 3) und als Hebelarm fungiert. Im gezeigten Beispiel teilt die gesuchte Masse den Hebelarm 2/3 zu 1/3.

Dezimalwaage - Teil
Abbildung 3: Das Verhältnis 2/3 zu 1/3 ist nur beispielhaft gewählt.

Die Enden des Hebels werden von der Masse m im umgekehrten Verhältnis belastet. Man könnte die einzelne Masse in der Mitte ersetzen durch zwei kleinere Massen, so wie in Abbilung 4 gezeigt. Nach dem Hebelgesetz haben Sie die gleiche Wirkung wie die eine große Masse m.

 

Dezimalwaage Prinzip Zeichnung
Abbildung 4: Die gesuchte Masse m lässt sich gedanklich aufteilen ein zwei Teile an den Enden des Hebels. Nach dem Hebelgesetz haben die dort gezeigten Teile die gleiche Wirkung wie die eine Masse m. Oben: konkretes Beispiel. Unten: allgemein.

3) Die Teil-Masse der linken Seite geht durch den Abstand 1 am oberen, rot-weißen Hebelarm einfach in das Drehmoment am oberen Hebel ein:

1 L - x L m = m - x L m      [ 1 ]

4) Nun zur rechten Seite: Der Abstellfläche für die gesuchte Masse m (z.B. Kartoffelsack) wird eine weitere Fläche untergeschoben, die als weiterer Hebel fungiert (grün-weiß). Die rechte Masse x/L· m hat aufgrund des Hebelgesetzes auf das linke Ende dieses grün-weißen Hebels die gleiche Wirkung wie 1/5 der Masse, die dort direkt platziert wird (Abb. 5). In das Drehmoment des oberen, rot-weißen Hebels geht diese Masse wegen des Abstands 5 aber fünffach ein, sodass gilt:

5 1 5 x L m = x L m      [ 2 ]

 

Abbildung 5:

5) Links und rechts zusammen: Die Addition der Gleichungen [1] und [2] ergibt einen Term, der von x, also der Postion x der gesuchten Masse m unabhängig ist.

m - x L m + x L m = m = 1 m      [ 3 ]

Gleichung [3] bedeutet, dass die komplizierte Mechanik am oberen, rot-weißen Hebel das Gleiche bewirkt wie die bei 1 anhängte Masse m (wie in Abb. 2 unten)

Nun noch das Hebelgesetz auf den rot-weißen Hebel angewendet:

10 M = 1 m m = 10 M

Fertig.